Câu 8. Cho một tam giác đều ABC cạnh a. Tam giác A ₁ B ₁ C ₁ có các đỉnh là trung điểm các cạnh của tam giác ABC, tam giác A ₂ B ₂ C ₂ có các đỉnh là trung điểm các cạnh của tam giác A ₁ B ₁ C ₁ ,…, tam giác A _n+1 B _n+1 C _n+1 có các đỉnh là trung điểm các cạnh của tam giác A _n B _n C _n , … . Gọi p ₁ , p ₂ , . . . , p _n , … và S ₁ , S ₂ , …, S _n , … theo thứ tự là chu vi và diện tích của các tam giác

a. Tìm giới hạn của các dãy số (p _n ) và (S _n ).

b. Tìm các tổng

\({p_1} + {p_2} + . . . + {p_n} + . . . \,va\,{S_1} + {S_2} + . . . + {S_n} + . . . \)

Giải:

a. Ta có:

\({p_1} = {a \over 2} + {a \over 2} + {a \over 2} = {{3a} \over 2};\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,{p_2} = {{3a} \over 4} = {{3a} \over {{2^2}}},. . . ,{p_n} = {{3a} \over {{2^n}}}\)

(chứng minh bằng qui nạp)

Vì  \(\lim {1 \over {{2^n}}} = \lim {\left( {{1 \over 2}} \right)^n} = 0\,nen\,\lim {p_n} = 0\)

Diện tích ta\) giác ABC là \(S = {{{a^2}\sqrt 3 } \over 4}\). Diện tích tam giác A ₁ B ₁ C ₁ là  \({S_1} = {S \over 4}\)

Bằng phương pháp qui nạp, ta chứng minh được rằng diện tích tam giác

\({A_n}{B_n}{C_n}\,la\,{S_n} = {{{a^2}\sqrt 3 } \over 4}. {\left( {{1 \over 4}} \right)^n}\)

Vì  \(\lim {\left( {{1 \over 4}} \right)^n} = 0\,nen\,\lim {S_n} = 0\)

b. Ta có (p _n ) là cấp số nhân lùi vô hạn có công bội \(q = {1 \over 2},\) do đó :

\({p_1} + {p_2} + . . . + {p_n} + . . . = {{{p_1}} \over {1 - {1 \over 2}}} = 2{p_1} = 3a\)

(S _n ) là cấp số nhân lùi vô hạn có công bội \(q' = {1 \over 4}\) do đó :

\({S_1} + {S_2} + . . . + {S_n} + . . . = {{{S_1}} \over {1 - {1 \over 4}}} = {4 \over 3}{S_1} = {S \over 3} = {{{a^2}\sqrt 3 } \over {12}}\)