Câu 10. Gọi C là nửa đường tròn đường kính AB = 2R, C ₁ là đường gồm hai nửa đường tròn đường kính \({{AB} \over 2}\), C ₂ là đường gồm bốn nửa đường tròn đường kính \({{AB} \over 4},. . . \) C­ _n là đường gồm \({2^n}\) nửa đường tròn đường kính \({{AB} \over {{2^n}}},. . . \) (h. 4. 2). Gọi p _n là độ dài của C _n , S _n là diện tích hình  phẳng giới hạn bởi  và đoạn thẳng AB.

a. Tính p _n và S _n .

b. Tìm giới hạn của các dãy số (p _n ) và (S­ _n ).

Giải:

a. Ta có:

\({p_n} = {2^n}. {R \over {{2^n}}}. \pi = \pi R\) với mọi n

\({S_n} = {2^n}. {\left( {{R \over {{2^n}}}} \right)^2}. {\pi \over 2} = {{\pi {R^2}} \over 2}. {1 \over {{2^n}}}\)

b.   \(\lim {p_n} = \pi R;\,\,\lim {S_n} = 0. \)